Halaman
Sistem Persamaan Linier dan VariabelStandar KompetensiMemahami sistem persamaan linear dua variabel, dan menggunakannya dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar2.1 Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)2.2 Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sitem persamaan linear dua variabel 2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan system persamaan linear dua variabel dan penafsirannya. Bab 4
90 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua VariabelMasih ingatkah kamu tentangpersamaan linier satu variabel? Jika tidak,sebaiknya kamu pelajari kembali.Pemahaman tentang persamaan linier satuvariabel diperlukan untuk dapatmemahami materi pada Bab 4 ini denganbaik.Mengingat Kembali PersamaanLinier dengan Satu VariabelSebelumnya kamu telah mempelajaripersamaan linier dengan satu variable,bukan? Perhatikan masalah matematikaberikut.Ida dan Dani adalah dua kakak beradik. Saat iniumur Ida 8 tahun lebih tua daripada umur Dani.Hari ini Dani genap berusia 5 tahun. Berapakahumur Ida saat ini?Apa yang kalian ketahui tentang umur Ida? Ya, dia 8 tahunlebih tua dari Dani adiknya. Kalau kita misalkan umur Idax tahun, apa yang kita peroleh? x - 8 = umur DaniJadi bila hari ini Dani berulangtahun yang ke 5, makax-8=5x- 8 +8 =5 + 8x+0 =13x=13Dengan demikian, hari ini Ida berumur 13 tahun.Coba selesaikan soal berikut.Ibu membeli roti kaleng.Ternyata uang ibu kurang. Rp18.000,00.Ibu minta kekurangannya pada Ayah. Setelah diberikan pada Ibu,sisa uang ayah sama dengan dua kali haega roti. Harga rotiRp48.000,00. Berapa uang ayah mula-mula?Apa yang akankamu pelajari?Pengertian persamaanliner dua variabelMenyatakan suatupernyataan dalampersamaan linier dengandua variabel, dansebaliknya.Kata Kunci:persamaan linier satuvariabel.Persamaan linier duavariabel.variabel.4.1Persamaan Linier Dua VariabelA
Matematika SMP Kelas VIII 911.Diketahui persamaan-persamaan:a.x + 2x2 = 5b.p - 2p = 9c.3k + 2 = 5kd.x2 - 2x2 = 6e.10p = 15q +100Sebutkan manakah yang merupakan persamaan linierdengan satu variabel?Ubahlah pertanyaan-pertanyaan berikut dalam persamaanlinier dengan satu variabel, dan tentukan penyelesaiannya.2.Kelereng Budi 7 buah lebih banyakdibandingkan kelereng Ahmad. KelerengBudi sebanyak 20 buah. Berapa banyaknyakelereng Ahmad?3.Banyak buku Reni 12 buah kurangnya daribuku Salsa. Banyaknya buku Reni 14 buah.Berapa banyak buku Salsa.4.Pak Ali punya 500 ekor angsa. Beliaumenjual beberapa ekor angsa yang sudahtua. Setelah dijual tinggal 374 ekor. Berapaekor angsa yang dijual ?5.Bu Rita membeli 3 butir telur ayamkampung. Jika Bu Rita membayar denganuang Rp5.000,00 maka uangpengembaliannya Rp3.200,00. Berapa harga1 butir telur ayam kampung?6.Keliling sebuah persegi 30 cm. Berapa sentimeter panjang sisinya?7.Harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk adalahRp38.000,00. Jika harga 1 kg jerukRp7.000,00. Berapa harga 1 kg apel?Sumber : www.flickr.comSumber : www.flickr.comSumber : www.deptan.go.idLatihan 4.1A
92 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua VariabelPerhatikan permasalahan berikut.Fia bermaksud membeli buahjeruk dan buah apel. Diamerencanakan membeli sebanyak10 biji buah. Berapa banyaknyamasing-masing buah apel danbuah jeruk yang mungkin dibelioleh Fia?Lengkapilah tabel berikut yangmenunjukkan kemungkinanjawabannya.Jeruk 0 1 2 3 4 . . . . . . Apel 10 9 8 7 . 5 4 . . . . Persamaan yang menggambarkan berapa banyak masing-masing buah yang dibeli Fia adalah:x+ y = 10 x mewakili banyaknya jeruk y mewakili banyaknya apel banyaknya buah yang dibeli Tabel di atas menunjukkan banyak buah yang mungkin dibeli oleh Fia. Dia bisa membeli 10 apel semua, atau 8 apeldan 2 jeruk, atau yang lainnya. Banyak apel dan jeruk dapatbervariasi. Bila x mewakili jeruk dan y mewakilik apel. Makaberapa banyak masing-masing Fia yang dibeli Fia dapatdituliskan sebagai persamaan linier dua variabel x dan y.Dari persamaan linier dua variabelx + y = 10,kamu dapat menyatakan variabel x dalam variabel y, yaitux = 10 - y.Pengertian Persamaan Linier dengan Dua VariabelB
Matematika SMP Kelas VIII 93Coba nyatakan variabel y dalam variabel x!Beberapa contoh persamaan linier dengan dua variabel antaralain:y=2x + 33p - 2q=5k + 2l=0Carilah contoh persamaan linier dengan dua variabel yanglain!Nyatakan sebuah variabel dalam variabel yang lain padacontoh-contoh persamaan linier dua variabel yang kamuberikan!Sekarang perhatikan pernyataan berikut.Ani membeli dua buah buku dan tiga pensil.Harga seluruhnya Rp 2.000,00.Ubahlah pernyataan di atas dalam kalimat matematika!Coba berikan beberapa contoh permasalahan lain yang dapatdinyatakan dengan persamaan linier dengan dua variabel,dan nyatakan persamaannya!1.Diketahui persamaan-persamaan:a. x + 2x2 = 5b. p + 2q = 9c. 3k + 2 = 5md. x2 - 5x2 = 6xe. 10x - 10y = 200f. 3x = 20 + 5xManakah yang merupakan persamaan linier dengan duavariabel?Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut dalampersamaan linier dengan dua variabel.2.Keliling sebuah persegipanjang adalah 84 cm.3.Seorang pedagang telah menjual 3 kg beras dan 8 kggula. Uang yang diterimanya Rp 41.000,00.Latihan 4.1B
94 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel4.Pak Budi membeli 3 kg cat tembok dan 1 kg cat kayu.Harga seluruhnya Rp50.000,005.Keliling sebuah segitiga samakaki adalah 78 cm.6.Jumlah kelereng Budi dan Adi adalah 24 butir.Untuk soal nomor 7 s.d. 10, buatlah soal cerita yang sesuaidengan persamaan yang diberikan.7.x + y = 288.4p + 3q = 30009.x = 4800 + 2y10.p - q = 2511. Untuk soal nomor 7 s.d. 10, nyatakan sebuah variabeldalam variabel yang lain dalam persamaan tersebut.
Matematika SMP Kelas VIII 95Pergi Ke Toko CatPak Budi dan Pak Ahmad pergi ke toko bangunanbersama-sama. Pak Budi membeli 1 kg cat kayudan 2 kg cat tembok dengan harga seluruhnyaRp 70.000,00. Sedangkan Pak Ahmad membeli2 kg cat kayu dan 2 kg cat tembok dengan hargaseluruhnya Rp 80.000,00. Sementara itu Pak Alimenginginkan membeli 3 kg cat kayu dan 5 kgcat tembok. Berapa rupiah Pak Ali harusmembayar?Berapa orang yang membeli cat?Berapa jenis cat yang dibeli mereka?Sekarang mari kita tabelkan persoalantersebut.Jenis Cat Nama Pembeli Tembok Kayu Uang Pembayaran P Budi 2 Kg 1 Kg Rp. 70.000 P Ahmad 2 Kg 2 Kg RP. 80.000 Apabila harga cat tembok perkilo adalah Trupiah dan cat kayu adalah K rupiah, makadata-data tabel tersebut dapat kita tuliskankembali menjadi bentuk aljabar sebagaiberikut.Berapa harga cat?Dari persoalan pembelian cat tersebut dapatdinyatakan sebagai2 T + 1 K = 70.0002 T + 2 K = 80.000Berapa nilai T dan K yang memenuhi bentukaljabar tersebut?Perhatikan harga cat yang dibeli olehP.Budi.Apa yang akan kamup el ajari ?Perbedaan persama-anlinier dua variabel (PLDV)dan sistem persamaanlinier dua variabel(SPLDV).Mengenali SPLDV dalamberbagai bentuk danvariabel.Membedakan akar danbukan akar PLDV danSPLDV.Menjelaskan arti kata“dan” pada solusi SPLDV.xMenentukan penyele- saianSPLDV dengan substitusi,eleminasi dan grafik.Kata Kunci:xSistem persamaan lineardua variabel.xMetode grafik.xMetode SubstitusixMetode Eleminasi4.2Sistem Persamaan Linier DuaVariabel
96 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua VariabelPak Budi membayar 2 T dan 1 K seharga 70.000. Dengandemikian harga 1 K sama dengan 70.000 dikurangi denganharga 2 T (kenapa?). Kita tuliskanK= 70.000 - 2 TPerhatikan harga cat yang dibeli oleh P Ahmad.Pak Ahmad selain membayar 2 T juga membeli 2 K berarti2K= 2 x (70.000 - 2 T ) (dari mana?)= 140.000 – 4 T.Dengan demikian2 T + 2 K=80.000 2 T + 140.000 – 4 T=80.000(dari mana?)- 2 T + 140.000 =80.000 140.000 - 80.000=2 T(kenapa?)2T=60.000(kenapa?)T=30.000.(dari mana?)Jadi harga cat tembok perkilogram adalah Rp. 30.000.Sekarang berapa K?K adalahK=70.000 - 2 T=70.000 – 2x 30.000=70.000 – 60.000=10.000.Jadi harga cat kayu perkilogram adalah Rp. 10.000,00.Coba kamu periksa apakah harga-harga cat ini sesuai dengandata pembelanjaan Pak Budi dan Pak Ahmad?Bentuk aljabar yang memenuhi pembelanjaan Pak Budiadalah persamaan linear 2 variabel. Demikian juga untukPak Ahmad. Harga masing-masing jenis cat yang dibeli PakBudi dan Pak Ahmad bernilai sama. Jadi dua persamaanlinear 2 variabel yang dihasilkan saling terkait (istilahnyasimultan). Dua persamaan linear 2 variabel yang saling terkaitdinamakan sistem persamaan linear 2 variabel atau secarasingkat sistem persamaan linear.Misalkan diberikan sistem persamaan linear berikut ̄® 3492yxyxContoh 1
Matematika SMP Kelas VIII 97Nyatakan apakah pasangan berurutan (2, 5) merupakanpenyelesaian sistem?Jawab:Substitusikan pasangan berurutan (2,5) pada masing-masingpersamaan.2x + y= 94x – y= 32(2) + 5= 94(2) - 5= 34 + 5= 98 - 5= 39= 9 (benar)3= 3 (benar)Apakah kesimpulanmu?Nyatakan apakah (1,0) adalah penyelesaian dari sistempersamaan linear 3x - 4y = 3 dan 2x + y = 5.Metode GrafikIngat harga cat yang dibayar oleh Pak Budi dan Pak Ahmad?Ya harga cat memenuhi sistem persamaan linear 2 variabelberikutPerhatikan bahwa persamaan yang dihadapi oleh Pak Budiberbentuk persamaan linear demikian juga yang dihadapiPak Ahmad. Ingat pelajaran terdahulu, persamaan linearberarti persamaan untuk garis lurus. Dengan demikian bilakita nyatakan masing-masing persamaan tersebut dalamkoordinat Cartesius, apa yang kamu peroleh?Soal 1A
98 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua VariabelKedua garis saling berpotongan (kenapa?) pada satu titik(30000,10000)Dengan demikian hargaharga 1 kg cat kayu= .................rupiahharga 1 kg cat tembok = .................rupiah.Dengan demikian Pak Budi harus membayar 2 kg cattembok dan 1 kg cat kayu sebesar :{ 3(.................) + 5(.................) } rupiah = .................rupiah.Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear2x + 3y = 6 dan 3x - y = -2 dengan metode grafik.Jawab:Gambarlah grafik masing-masing persamaan pada salibsumbu yang sama, yaitu :Contoh 2
Matematika SMP Kelas VIII 9921-1-2-2 -1 1 2 3 3x - y = -22x + 3y = 6Kedua garis tersebut berpotongan di titik (0,2).Jadi (0,2) adalah satu-satunya penyelesaian dari sistempersamaan linear dengan dua peubah tersebut. Atau dengankata lain (0, 2) merupakan akar dari sistem persamaan lineardua variabel.Selesaikan sistem persamaan linear x + y = 1 dan x - y = 4dengan metode grafik.Selesaikan sistem persamaan linear x - 2y = 4 dan 2x - 4y = 8dengan metode grafik.Carilah dua bilangan yang memiliki jumlah 6 danselisihnya 4.Nyatakan masalah ini dalam suatu sistem persamaan.Soal 2Soal 3Soal 4
100 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel1.Dengan kertas berpetak tentukan penyelesaian darisetiap sistem persamaan linear berikut.a.y = x + 1 dan y = 3x - 7b.x + y = -3 dan y = 3x - 72.Nyatakan apakah setiap pasangan terurut bilanganberikut ini merupakan penyelesaian dari sistempersamaan linear:a.3x - 2y= 8b.x - 2y= 0 c.x + 2y = 3x = -3y2x + y= 4y = 2x - 1(3,-1)(2,1)(1,1)3.Dengan menggunakan kertas berpetak, selesaikanmasing-masing sistem persamaan linear berikut denganmetode grafik. Periksalah setiap penyelesaian yang kamuperoleh.a. ̄® xyyx242c. ̄® 44222xyyxb. ̄® 1623xyxyd. ̄® yxyx210234.Nyatakan dalam suatu persamaan linear, kemudiancarilah penyelesaiannya.a.Jumlah dua bilangan adalah 19 dan selisihnya 5.Bilangan-bilangan berapakah itu?b.Jumlah dua bilangan 10. Dua kali bilangan yangbesar dikurangi tiga kali bilangan yang kecil adalah5. Bilangan-bilangan berapakah itu?Metode EliminasiPerhatikan koefisien-koefisien variabel x dan y dari sistempersamaan linear berikut ̄® 5343yxyxBLatihan 4.2.a
Matematika SMP Kelas VIII 101Koefisien variabel x adalah 1 untuk persamaan pertamadan 4 untuk persamaan kedua. Sekarang, marilah kitasamakan koefisien x dari kedua persamaanx + y = 3x 4 o 4x + 4y = 12 4x - 3 y = 5 x 1 o4x - 3 y = 5. Sekarang kedua koefisien x sudah sama, atau persamaantersebut dapat dituliskan4x = 12 - 4y4x = 5 + 3 y. Apa artinya? Artinya, kita dapat menggunakan salah satu4x = 12 - 4y atau 4x = 5 + 3 y. Oleh karena itu5 + 3 y = 12 - 4y, (kenapa?)atau4y + 3 y = 12 – 5 o 7 y = 7 oy = 1.Selanjutnya karena y = 1, maka 4x = 12 – 4x1= 8 atau x = 2.Sekarang mari kita sederhanakan langkah-langkah di atas.Kita mulai dari penyamaan koefisienApabila kita lakukan penyamaan koefisien variabel y, kitaperolehJadi penyelesaiannya adalah x = 2 dany = 1 dan himpunanpenyelesaiannya adalah {(2 , 1)}. Ujilah jawaban ini.Ingat!Langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan sistempersamaan linier diatas disebut dengan metode eliminasi
102 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua VariabelSelesaikan sistem persamaan linear ̄® 721223yxyxdengan metode eliminasi.Selesaikan sistem persamaan linear ̄® 1272yxyxdengan metode eliminasi.Dengan menggunakan metode eliminasi, selidiki apakahpasangan bilangan berurutan berikut merupakan atau tidakmerupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikutini.1. ̄® 101725yxyx2. ̄® 103212yxyx3. ̄® 11324yxyx(3 ,-1)( 7,3 )(2 , 2)Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem-sistempersamaan linear berikut dengan metode eliminasi.4. ̄® 534152yxyx5. ̄® 152625yxyx6. ̄® 11243xyyxSoal 5Soal 6Latihan 4.2.b
Matematika SMP Kelas VIII 103Metode SubstitusiContoh 4Cara lain penyelesaian sistem persamaan linear adalahdengan metode substitusi. Substitusi artinya mengganti, yaitumenggantikan variabel yang kita pilih pada persamaanpertama dan digunakan untuk mengganti variabel sejenispada persamaan kedua.Selesaikan sistem persamaan linear ̄® 313212yxyxdengan metode substitusi.Jawab:Persamaan pertama x + y = 12 dapat diubah menjadix = 12 - y. Selanjutnya pada persamaan kedua 2 x + 3 y = 31,variabel x diganti dengan 12 - y, sehingga persamaan keduamenjadi:2(12 - y) + 3y= 31 24 - 2 y + 3y = 31 24 + y = 31 y = 31 - 24 y = 7 Selanjutnya y = 7 disubstitusikan dalam persamaan pertama,yaitu:x + y= 12x + 7= 12x= 12 - 7x= 5Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan x + y = 12dan 2 x + 3 y = 31 adalah { (5 , 7) }.CContoh 4
104 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua VariabelSelesaikan sistem persamaan linier ̄® 043416qpqpdengan metode substitusi.Selesaikan sistem persamaan linear ̄® 65342abbadengan metode substitusi.Untuk soal nomor 1 sampai dengan 3, selidiki apakahpasangan bilangan berurutan berikut merupakanpenyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini atautidak.1. ̄® 43232yxyx2. ̄® 425yxyx3. ̄® 1723832yxyx(-1, 2)(-2, -3)( -7,-2)Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaanlinear berikut dengan metode substitusi (untuk soal nomor 4s.d 10).4. ̄® 133yxyx5. ̄® 23yxyx6. ̄® 993yxyx7. ̄® 94312yxyx8. ̄® 934152yxyx9. ° ̄°® 014121yxyx10. Harga 6 ekor kambing dan 4 ekor sapiadalah Rp19.600.000,00. Harga 8 ekorkambing dan 3 ekor sapi adalahRp16.800.000,00. Berapa harga 1 ekorkambing, dan berapa harga 1 ekor sapi?Soal 7Soal 8Sumber : Rohadi.files.wordpress.comLatihan 4.2.c
Matematika SMP Kelas VIII 10511. Ani membeli 4 buah buku dan 5 buah bolpoin sehargaRp24.000,00. Ida membeli 6 buah buku dan 2 buahbolpoin seharga Rp27.200,00. Tentukan harga 2 buahbuku dan 5 buah bolpoin!12. Dua buah sudut dari suatu segitiga salingberkomplemen. Sudut yang satu 8° lebih besar dari sudutyang lain. Tentukan besar ketiga sudut dari segitigatersebut.
106 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua VariabelRefleksiSetelah mempelajari Bab 4 coba kamu ingat, adakah bagianyang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembaliatau diskusikan dengan temanmu!Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu fahami dancatatlah hal-hal yang sulit kamu fahami.Coba kamu jelaskan bagaimana cara menyelesaikan sistempersamaan linier dua variabel dengan cara grafik, eliminasidan substitusi.Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidaksenang karena takut, jemu, sulit memahami atukahmerasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibuguru.Rangkuman1.Ada tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linierdua variabel yaitu cara grafik, cara eliminasi dan carasubstitusi.2.Penyelesian sistem persamaan linier dua variabel pada caragrafik adalah perpotongan dua garis3.Cara eliminasi dilakukan dengan mengeliminir(menghilangkan) salah satu variabel secara bergantian.4.Cara substitusi dilakukan dengan menyatakan salah satuvariabel dalam variabel yang lain kemudianmemasukkannya (mensubstitusikan) pada persamaanyang lain.
Matematika SMP Kelas VIII 1071.Jumlah dua bilangan dua kurangnya dari hasil kalinya.Jika bilangan itu x dan y, maka kalimat itu dapat ditulisdengan . . .a.yxyx.2 b. 2. yxyxc.2.2 yxyxd. yxyx.2 2.Berikut ini yang merupakan persamaan linier dua variabeladalah. . .a. 26853ytyt b. 736 ttc. 237xxy d. wwtw63 3.Jika 32 mt, maka ...27 tma. 511mb. 63mc. 63md. 611m4.Penyelesaian dari sistem persamaan ̄® 9431132yxyx adalah. . .a. 2;1 yxb. 2;1 yxc. 1;2 yxd. 2;1 yx5.Berikut ini yang merupakan persamaan linier satu variabeladalah . . .a. yyy687 b. 236tt c. yzz 45d. txx 46Untuk soal nomor 6 sampai 10 kerjakan disertai denganlangkah-langkahnya.6.Seorang pedagang beras pada suatu pagi berhasil menju-al80 kg beras dan 12 kg beras ketan. Uang yang diteri-manyaRp324.000,00. Keesokan harinya dia berhasil menjual 30kg beras dan 20 kg beras ketan. Uang yang diterima sebesarRp230.000,00. Dengan harga berapa ia menjual 1 kg berasdan 1 kg beras ketan?7.Tentukan penyelesaian dari setiap sistema. ̄® 0264301824tstsb. ̄® 193401126nmnmEvaluasi Bab 4
108 Bab. 4 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel8. Pemecahan Masalah. Jumlah dua buah bilangan 32. Dua kali bilangan pertamaditambah tiga kali bilangan kedua adalah 84. Bilangan-bilangan manakah itu?9. Pemecahan Masalah. Jumlah dua buah bilangan 67 danselisihnya 13. bilangan-bilangan manakah itu?10. Dua buah sudut saling bersuplemen. Sudut yang satu 74°lebih besar dari sudut yang lain. Tentukan besar keduasudut tersebut.